grać na spadnięcie, czy na impas?

... jeden z kumpli (a mam ich jeszcze kilku) postawił stare i znane pytanie:   ... masz w ręce AK1098 a w stole 7654, grasz  z ręki asa i od przeciwnika po lewej spada dama, wchodzisz na stół i ponownie zagrywasz w ten kolor ... przeciwnik po prawej ponownie dokłada bloteczkę ... grasz z góry czy impasujesz dziesiątką???

...

...

...

...

...

...

...

oczywiście grasz na impas ... a dlaczego? ... dla twojej wygodzy ściągnąłem dwa artykuły ... enjoy! ---> (kliknij na tytule żeby czytać oba artykuły w całości)

*******************************************************************************************

Załóżmy taki układ kart jak na diagramie po lewej stronie, rozgrywający gra na impas najpierw do dziewiątki którą E pobił waletem, a następie do dziesiątki którą E wziął królem. S gra ponownie w ten kolor i W dokłada to tej lewy blotkę  czy należy teraz zaimpasować ponownie czy zagrać asa z góry?

Z punktu widzenia rozgrywającego istotne są dwa układy kart u przeciwników: Dxxx - KW i xxx - KDW. W pierwszym przypadku wygrywa położenie ósemki, w drugim przykładzie wygrywającym zagraniem jest as. W pierwszym przypadku (KW) mógł zagrać jego karty na dwa sposoby - najpierw zabić królem, a później waletem lub odwrotnie. W drugim przypadku (KDW) miał on aż sześć sposobów zagrania swoich kart - KD, DK, KW, WK, DW lub WD. Ponieważ jednak na stole nie pojawiła się do tej pory dama, szansa podziału xxx-KDW maleje. Szansa wytasowania podziału Dxxx-KW wynosi 1,61%, szansa skorygowana (2 wybory, a więc 1,61%/2) wynosi 0,805%. Szansa wytasowania podziału xxx-KDW wynosi 1,78% ale szansa skorygowana (6 wyborów, a więc 1,78%/6) wynosi 0,297%. Optymalną strategią jest więc gra na impas, pomimo, że a priori szansa na podział xxx-KDW jest wyższa od szansy na podział Dxxx-KW, jednak a posteriori, po uwzględnieniu ZOW wyższa staje się szansa na podział 4-2.

Stosunkowo często spotykana jest sytuacja jak na diagramie po lewej stronie kiedy rozgrywającemu brakuje 5 kart w kolorze tym damy i waleta. Rozgrywający gra asa na którego z prawej strony spada dama. Ponownie, z punktu widzenia rozgrywającego istotne są tylko dwa rozkłady u przeciwników: xxx - DW lub Wxxx - D. Szansa wytasowania pierwszego z nich wynosi 3,39%, a drugiego tylko 2,83% ale z kartami DW siedzący po prawej stronie gracz mógł zagrać damę lub waleta, ponieważ zagrał waleta to prawdopodobieństwo takiego układu maleje o połowę - 3,38%/2 = 1,70%. Według ZOW należy więc zaimpasować waleta.

********************************************************************************

Dotyczy ono zdarzeń zależnych. Jeśli wystąpienie jakiegoś zdarzenia powoduje zmianę prawdopodobieństwa wystąpienia innego, to są to właśnie zdarzenia zależne. Podczas rozgrywki takie sytuacje występują bardzo często. Jeśli na przykład w kolorze 7-kartowym jest do wykonania impas a wiadomo (z licytacji, wistu), że kolor ten podzielił się 4-2 to szansa na udanie się impasu zmienia się.

Prawdopodobieństwo warunkowe zapisuje się w taki sposób - P(A|B). Co oznacza, że chodzi o prawdopodobieństwo zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B. I wzór na takie prawdopodobieństwo:

No to policzmy jaka jest szansa impasu króla u W jeśli wiadomo,że ma on cztery karty a E tylko dwie.

• A - król u W
• B - 4 karty u W. Prawdopodobieństwo odczytamy z tabeli podziału koloru. Z tym, że prawdopodobieństwo tam podane trzeba podzielić na pół, bo chodzi o tylko połowę podziałów 4:2, tą w której 4 karty są u W. P(B)=24%
• A∩B - część wspólna A i B czyli czwarty król u W. Prawdopodobieństwo można policzyć stosując kombinacje, dla ułatwienia skorzystamy z tabeli prawdopodobieństwa niektórych układów: prawdopodobieństwo czwartej figury przy brakujących 6 kartach wynosi - 16%
• A|B - król u W jeśli W ma 4 karty. Podstawiając do wzoru: P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=16%/24%=67%

Jak widać znacznie wzrosły szanse impasu króla. Na "chłopski rozum" można do problemu było podejść tak: król u W wystąpi z 3 blotkami, jest więc 10 takich możliwości (kombinacje 3 blotek z pięciu), a u E tylko z jedną. Tych drugich układów jest tylko pięć. Prawdopodobieństwo zastania króla u W jest więc dwa razy większe niż zastania go u E, czyli wynosi 2/3 (67%).

Po przekształceniu powyższego mamy wzór na iloczyn zdarzeń zależnych:

Sprawdźmy poprawność prawdopodobieństwo drugiego króla pod impasem gdy brakuje 5 kart, obliczonego w przykładzie 2 przy zastosowaniu kombinacji:

• A - król u W
• B - 2 karty u W. P(B)=34% (połowa układów 3-2 odczytana z tabeli podziału koloru
• A|B - król u W pod warunkiem, że są tam dwie karty. Obliczenie prawdopodobieństwa sprowadza się do policzenia układów z drugim królem (4 układy), a następnie podzielenia tego przez liczbę wszystkich możliwych układów dwukartowych u W. Tych układów jest 10 (kombinacje 2 z 5) - prawdopodobieństwo wynosi więc 4/10 (40%)
• A∩B - część wspólna A i B, czyli drugi król u W. Po podstawieniu do wzoru otrzymujemy P(A∩B)=40%*34%=14%

Zapewne każdy spotkał się z tym pojęciem. Jest to zasada wynikająca z prawdopodobieństwa warunkowego właśnie. Załóżmy, że masz do wzięcia trzy lewy w poniższym układzie. Siedzisz na pozycji S i masz jeszcze jedno dojście do ręki.

Wygląda na to, że trzeba podwójnie zaimpasować piki. Jedna z dwóch figur pod impasem to 75%, natomiast impas kiera, a potem impas pika to tylko niecałe 63% (50%+50%*25%). Impasujemy więc, E bierze lewę damą i odwraca bokiem. Znów jesteś w ręce i postanowiłeś przemyśleć sprawę. Wygląda na to, że teraz zarówno impas króla pik jak i impas króla kier ma takie same szanse powodzenia. Co się stało? Ano nastąpiła właśnie sytuacja kiedy trzeba zastosować naszą zasadę ograniczonego wyboru. E mając tylko damę pik musiał nią zabić naszą dzisiątkę, a mając zarówno damę jak i króla mógł położyć zarówno damę jak i króla. Można załozyć, że przy obu figurach u E, tylko w połowie wypadków pojawi się dama. Innymi słowy po zabiciu figurą, maleje szansa, że W ma drugą z figur.

Spróbujmy policzyć prawdopodobieństwo posiadania przez E króla pik, po zabiciu pierwszej lewy damą. Zdarzenie król u E, zastępujemy innym: król u E jeśli E zabił damą.

• A - król u E
• B - E zabił damą. Jeśli zabił damą to wchodzą w grę dwa układy: D lub KD. Oba tak samo prawdopodobne, z tym , że w drugim dama pojawi się tylko w połowie wypadków. P(B)=50%+50%*50%=75%
• A∩B - część wspólna (obie figury u E). Prawdopodobieństwo tego to 1/4 - jeden z czterech możliwych układów (D, K, KD, nic)
• Prawdopodobieństwo, że E ma króla, jeśli zabił damą w pierwszej lewie: P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=25%/75%=33%

Wynika z tego, że w omawianej sytuacji szansa powodzenia w przypadku drugiego impasu w pikach wynosi nie 50% ale 67%

W omawianym przypadku poczynione zostało założenie, że E mając obie figury doda damę w połowie przypadków. Losowe dodawanie figur w takim układzie jest optymalną strategią. Zauważ, że gdyby E dodawał z takiej konfiguracji zawsze króla, to szansa udania się powtórnego impasu byłaby stuprocentowa. Gdyby miał jednak zwyczaj zawsze dodawać damę, to faktycznie szansa na udanie się impasu pik jak i impasu kier byłaby taka sama.

Kolejny przykład zastosowania zasady ograniczonego wyboru to także już abecadło brydżowe

Optymalna rozgrywka takiego układu polega na zagraniu asem lub królem, a następnie jeśli od E spadnie figura - impasie dziesiątką. Wydawałoby się, że jest to sposób niewłaściwy, gdyż szansa na podział 2:2 to 40%, a szansa na singlową figurę - tylko 12%. Policzmy jednak dokładnie. Po spadnięciu na przykład waleta są możliwe tylko dw układy u E:

• singlowy walet - sznasa wg tabeli - 6%
• DW sec - gdyby nie zależało od pierwszej zrzutki, prawdopdobieństwo wyniosłoby wg tej samej tabeli - 7%

Liczymy prawdopodobieństwo warunkowe ze wzoru P(A|B)=P(A∩B)/P(B) gzie:

• A - DW sec
• B - spadł walet. Zdarzenie obejmuje układy z singlowym waletem i połowę układów z DW sec. Ponieważ te dwie sytuacje się wykluczają, prawdopodobieństwo jest zwykłą sumą: 6% + 7% / 2 = 9,5%
• P(A∩B)- część wspólna A i B czyli połowa układów z DW sec - 3,5%

Prawdopodobieństwo DW sec u E jeśli spadł od niego walet wynosi więc tylko: 3,5% / 9,5% = 37%. Impas jest więcej niż uzasadniony.

Sprawdźmy jeszcze jeden dosyć częsty przypadek:

Chcemy w takim kolorze wziąć wszystkie lewy. Na zagranego króla od E spada dziesiątka. Gramy blotkę, W dokłada blotkę - impasować czy grać górą?

Wchodzą w grę trzy układy u E: singlowa dziesiątka, dziesiątka z blotką i D10 sec, z pradopodobieństwami a priori odpowiednio: 3%, 11%, 3%. Tylko w ostatnim wypadku powinniśmy grać z góry, widać, że ta szansa jest wyraźnie mniejsza niż pozostałe. Sprawdźmy czy zmieni się coś po zrzuceniu dziesiątki w pierwszej lewie przez E:>

• A - D10 sec u E
• B - od E spada dziesiątka. E dorzuci dziesiątkę jeśli ma ją singlową i z D10 oraz w połowie przypadków 10x. P(B)= 3% + 5,5% + 3% = 11%
• P(A∩B) - prawdopodobieństwo, że E ma D10 sec i zrzuci dziesiątkę - 3%

Pradopodobieństwo warunkowe P(A|B) = 27%. Wynika z tego, że jeśli od E spadnie dziesiątka, szansa na impas jest dużo wyższa niż zagranie z góry.